Распределение примера 1, приведенное в пункте а), равномерное. Оно имеет в экономике широкое применение и будет далее использоваться, но только в непрерывном случае. Распределение пункта в) двухточечное. Оно отражает тот факт, что доходы бывают только двух видов: большие – b и малые – a. При этом число людей, имеющих b и a одинаково. Эта идеализированная ситуация мало соответствует реальному положению дел: обычно доля p людей с малыми среднедушевыми доходами a превосходит долю q людей с большими (b). Для простоты изложения материала далее будут оставлены такие идеализированные двухточечные распределения, но с разными долями p и q.

Разница в обсужденных распределениях состоит в том, что при необходимости найти человека (или людей) с заданным и малым интервалом доходов поиск наиболее затруднен как раз при равномерном распределении, а не при двухточечном. Пусть p=99% (а q=1%) и надо отыскать человека с малыми среднедушевыми доходами, тогда практически первое же попавшиеся лицо будет иметь нужный доход (ошибка возможна лишь в 1% случаев). Для равномерного распределения ошибка может быть сколь угодно велика при поиске человека с заданным и очень малым диапазоном его доходов. Например, если диапазон нужных (желаемых для некоторых целей) душевых доходов составляет всего 1%, от b-a, то найти человека при равномерном распределении столь же трудно, как найти богатого при двухточечном.

Обсуждение пункта б) примера 1 требует более детального рассмотрения. Упростим задачу, считая, что новые доходы образуются из вкладов прежнего капитала x в акции, банковские счета и т.п. Тогда прирост доходов dx за время dt будет равен

x (1+ydt) – x

где y – процент от акций, банковских вкладов и т.п. При равных возможностях всякого человека относительный прирост доходов dx/x не зависит от первоначального капитала: он равен ydt и одинаков при любых стартовых условиях, и, как правило, очень невелик поскольку некоторые из y, несмотря на положительность, очень малы, но надежны, а остальные, которые не очень малы, недостаточно надежны.

Если хочется определить связь величин процента y и дохода x, нужно решить уравнение dx/x=ydt, т.е. lnx=yt. Последнее означает, что логарифмы доходов равны процентам. На самом деле эти проценты случайны (h), но распределены по одному и тому же закону – это и означает одинаковость. Но тогда и сами доходы будут случайными (и равными, скажем, x) и lnx=h (здесь и далее считаем, что t равно единице времени). Допустим, что случайные величины надежных процентов h ограничены снизу и трудно обосновать разумную верхнюю границу, хотя среднее значение Mh существует и известно. Если вдобавок к тому процент h еще и наиболее трудно определим, то возникает предположение, что h подчинено закону из пункта б) примера 1. Таким образом, сам доход x=eh и его распределение F(x)=P(x<x) необходимо найти, когда G(y)=P(h<y) известно.

Рассмотрим для простоты непрерывный случай, когда G(y)=1‑exp, где m минимальное значение случайной величины h, а Mh – ее среднее значение. Тогда справедлива цепочка равенств: G(lnx)=P(h<lnx)=P(eh<x)=P(x<x)=F(x), из которой находится функция распределения F(x) доходов x по известной функции распределения процентов G(·).

F(x)=G(lnx)

где a=1/Mh, а m=lna. Окончательно имеем функцию распределения F(x)=1 – (a/x)a доходов x³a, которая представляет собой распределение Парето.